GIVEN,
acosФ + bsinФ = c
TO PROVE,
asinФ - bcosФ = ±√a² + b² - c²
PROOF,
⇒ ( acosФ + bsinФ ) ² = c² [squaring both sides]
⇒ a²cos²Ф + b²sin²Ф + 2absinФcosФ = c²
⇒a²( 1 - sin²Ф) + b²( 1 - cos²Ф ) + 2absinФcosФ = c² [∵ sin²Ф + cos²Ф = 1]
⇒( a² - a²sin²Ф ) + ( b² - b²cos²Ф) + 2absinФcosФ = c²
⇒a² + b² - a²sin²Ф - b²cos²Ф + 2absinФcosФ = c²
⇒a² + b² - ( a²sin²Ф - 2absinФcosФ + b²cos²Ф) = c²
⇒- ( a²sin²Ф - 2absinФcosФ + b²cos²Ф) = c² - a² - b²
⇒ (a²sin²Ф - 2absinФcosФ + b²cos²Ф ) = a² + b² - c²
⇒ ( asinФ - bcosФ)² = a² + b² - c²
⇒ asinФ - bcosФ ± √a² + b² - c²
( HENCE , PROVED)
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Answers & Comments
GIVEN,
acosФ + bsinФ = c
TO PROVE,
asinФ - bcosФ = ±√a² + b² - c²
PROOF,
acosФ + bsinФ = c
⇒ ( acosФ + bsinФ ) ² = c² [squaring both sides]
⇒ a²cos²Ф + b²sin²Ф + 2absinФcosФ = c²
⇒a²( 1 - sin²Ф) + b²( 1 - cos²Ф ) + 2absinФcosФ = c² [∵ sin²Ф + cos²Ф = 1]
⇒( a² - a²sin²Ф ) + ( b² - b²cos²Ф) + 2absinФcosФ = c²
⇒a² + b² - a²sin²Ф - b²cos²Ф + 2absinФcosФ = c²
⇒a² + b² - ( a²sin²Ф - 2absinФcosФ + b²cos²Ф) = c²
⇒- ( a²sin²Ф - 2absinФcosФ + b²cos²Ф) = c² - a² - b²
⇒ (a²sin²Ф - 2absinФcosФ + b²cos²Ф ) = a² + b² - c²
⇒ ( asinФ - bcosФ)² = a² + b² - c²
⇒ asinФ - bcosФ ± √a² + b² - c²
( HENCE , PROVED)