Verified answer

[tex]\color{lightblue}{─────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────}[/tex]

[tex] \large \bold{Perform \: \: \: \: \: the \: \: \: \: \: following \: \: \: \: \: indicated \: \: \: \: \: operations}[/tex]

[tex] \sf \large \bold{1.) \: \: \: 3 {x}^{2} + {y}^{2} - {z}^{2} + 2xy - 2y}[/tex]

[tex] \sf \bold{ + ( - {x}^{2} ) + {y}^{2} + {z}^{2} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: + 2yz - 2zx}[/tex]

[tex] \sf \bold{ + {x}^{2} - {y}^{2} + {z}^{2} \: \: \: - xy \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: + 3zx}[/tex]

[tex] \sf \underline \bold{ + ( - {x}^{2} ) - {y}^{2} - {z}^{2} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: + 1}[/tex]

[tex] \sf \bold{ \: \: \: \: \: \: \: 2 {x}^{2} + 0 + 0 + xy - 2y + 2yz + zx + 1}[/tex]

[tex] \sf \:simplifying, \:2 {x}^{2} + xy - 2y + 2yz + zx + 1[/tex]

[tex] \sf \large \bold{2.) \: \: \: subtract \: c - a - b + d \: \: \: \: from \: \: \: a - b + c - d.}[/tex]

[tex] \sf \bold{ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: a - b + c - d}[/tex]

[tex] \sf \underline \bold{ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: - ( - a - b + c + d \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: }[/tex]

[tex] \sf \bold{2a + 0 + 0 - 2d}[/tex]

[tex] \sf \: simplifying, \: the \: answer \: is \: \: \: \: \: \red{2a - 2d}[/tex]

[tex] \sf \large \bold{3.) \: \: \: {x}^{4} + {x}^{3}y + {x}^{2} {y}^{2} + 2x {y}^{3} + {y}^{4} }[/tex]

[tex] \sf \underline \bold{ \times (x - y) \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: }[/tex]

[tex] \sf \bold{ \colon \implies \: \: {x}^{5} + {x}^{4}y + {x}^{3} {y}^{2} + 2 {x}^{2} {y}^{3} + x {y}^{4}} [/tex]

[tex] \sf \underline \bold{ \colon \implies \: \: \: \: - {x}^{4} y - {x}^{3} {y}^{2} - {x}^{2} {y}^{3} - 2x {y}^{4} - {y}^{5}} [/tex]

[tex] \sf \: simplifying, \: \: the \: \: product \: \: is \: \: {x}^{5} + {x}^{2} {y}^{3} - x {y}^{4} - {y}^{5}[/tex]

[tex] \sf \large \bold{5.) \: \: \: divide \: \: \: \: \: 2 {x}^{3} + 3{x}^{3} - {x}^{2} - 2 \: \: by \: \: x - 12} [/tex]

[tex] \sf \underline \bold { 5 {x}^{2} - 3x - 6 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: } \\ \sf \bold{ x - 2 |5 {x}^{3} - {x}^{2} + 0x - 2} \\ \sf \underline \bold{ - (5 {x}^{3} - 4 {x}^{2} \: )} \\ \sf \bold{0 {x}^{3} - 3 {x}^{2} + 0x} \\ \sf \underline \bold{ \: - ( - 3 {x}^{2} + 6x)} \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \sf \bold{0 {x}^{2} - 6x - 2} \\ \sf \underline \bold{ - ( \: \: \: \: - 6x + 12)} \\ \sf \bold{ - 14} [/tex]

[tex] \sf \large since \: \: \: \: \: we \: \: \: \: \: have \: \: \: \: \: a \: \: \: \: \: remainder \: \: \: \: \: of \: \: \: \: \: - 14, \: \: \: \: \: the \: \: \: \: \: final \: \: \: \: \: answer \: \: \: \: \: is \: \: \: \: \: \\ \\ \sf \red{ \implies \: 5 {x}^{2} - 3x - 6 - \frac{14}{x - 2}.} [/tex]

[tex]\color{lightblue}{─────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────}[/tex]

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