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यदि बहुपदों (2x ^ 3 + k * x ^ 2 + 3x - 5) तथा (x ^ 3 + x ^ 2 - 2x + 2k) को ( x - 3 ) से विभाजित करने पर समान शेषफल प्राप्त होता है, तब k का मान ज्ञात कीजिए। साथ ही, प्रथम स्थिति में शेषफल भी ज्ञात कीजिए।
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Answer:
बहुपदों (2x ^ 3 + k * x ^ 2 + 3x - 5) तथा (x ^ 3 + x ^ 2 - 2x + 2k) को ( x - 3 ) से विभाजित करने पर समान शेषफल प्राप्त होता है, तब k का मान ज्ञात कीजिए।
हम ( x - 3 ) के द्वारा दो बहुपदों को विभाजित करते हैं।
(2x ^ 3 + k * x ^ 2 + 3x - 5) ÷ (x - 3) = 2x^2 + (6 + k)x + (18 + 2k) + (53 / (x - 3))
(x ^ 3 + x ^ 2 - 2x + 2k) ÷ (x - 3) = x^2 + 4x + (14 + (2k + 9) / (x - 3))
यहां, शेषफलों में कोई अंतर नहीं होना चाहिए।
53 / (x - 3) = (2k + 9) / (x - 3)
इससे हमें k की मान निकालने में मदद मिलती है।
53 = 2k + 9
k = 22
अब, प्रथम स्थिति में शेषफल भी ज्ञात कीजिए।
जब x = 3 होता है, तो दोनों बहुपदों के लिए शेषफल 17 होता ह
Step-by-step explanation:
दिए गए दो बहुपदों को (x - 3) से विभाजित करने पर समान शेषफल प्राप्त होता है। हम इसे उपयोग करके k की मान तथा प्रथम स्थिति में शेषफल को निकाल सकते हैं।
पहले हमें दो बहुपदों को (x - 3) से विभाजित करना होगा।
(x - 3) से (2x^3 + kx^2 + 3x - 5) विभाज्य है, इसलिए हमें भाग दरें निकालने के लिए दिया गया बहुपद को उसके अभिलंब में प्रतिस्थापित करना होगा।
यदि हम (2x^3 + kx^2 + 3x - 5) को (x - 3) से विभाजित करें, तो विभाजक का प्राथमिक रूप x - 3 होगा।
_____________________________________________
x - 3 | 2x^3 + kx^2 + 3x - 5
अब हम प्रथम पद को गुणा करते हैं, इसे (x - 3) से घटाएं और उपर्लिखित प्रक्रिया को पुनः करते हैं, जब तक उपयुक्त शेषफल को प्राप्त न करें:
2x^2 + 5x + 14
__________________________________________________
x - 3 | 2x^3 + kx^2 + 3x - 5
- (2x^3 - 6x^2)
______________
6x^2 + 3x
- (6x^2 - 18x)
______________
21x - 5
- (21x - 63)
_______
58
इस प्रक्रिया के द्वारा हमें शेषफल 58 प्राप्त हुआ है।
इस प्रभावी विभाजन के बाद हमारी पहली स्थिति होगी:
(x - 3) | (x^3 + x^2 - 2x + 2k)
_____________________________________________
x - 3 | x^3 + x^2 - 2x + 2k
अब हम प्रथम पद को गुणा करते हैं, इसे (x - 3) से घटाएं और उपर्लिखित प्रक्रिया को पुनः करते हैं, जब तक उपयुक्त शेषफल को प्राप्त न करें:
x^2 + 4x + 14
__________________________________________________
x - 3 | x^3 + x^2 - 2x + 2k
- (x^3 - 3x^2)
______________
4x^2 - 2x
- (4x^2 - 12x)
______________
10x + 2k
- (10x - 30)
_______
2k + 30
इस प्रक्रिया के द्वारा हमें शेषफल (2k + 30) प्राप्त हुआ है।
अब, दिए गए शर्त के अनुसार, प्राप्त शेषफल दोनों मामलों में एक ही होना चाहिए:
58 = 2k + 30
2k = 58 - 30
2k = 28
k = 28/2
k = 14
इसलिए, दिये गए समीकरण के लिए k की मान 14 है।
प्रथम स्थिति में शेषफल 58 है।