a = 2 + √3
⇒
Multiplying and Dividing with 2 - √3
As (P + Q) × (P - Q) = P² - Q²
⇒ (2 + √3) × (2 - √3) = 2² - (√3)² = 4 - 3 = 1
⇒ 1/a = 2 - √3
⇒ a + 1/a = (2 + √3) + (2 - √3) = 4
As (P + Q)³ = P³ + Q³ + 3PQ(P + Q)
⇒ P³ + Q³ = (P + Q)³ - 3PQ(P + Q)
Substituting P = a and Q = 1/a
⇒ a³ + 1/a³ = (a + 1/a)³ - 3 × a × 1/a × (a + 1/a)
⇒ a³ + 1/a³ = 4³ - 3(4) = 64 - 12 = 52
As (P + Q)² = P² + Q² + 2PQ
⇒ (a + 1/a)² = a² + 1/a² + 2 × a × 1/a
⇒ a² + 1/a² = (a + 1/a)² - 2
⇒ a² + 1/a² = 4² - 2 = 16 - 2 = 14
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a = 2 + √3
⇒![\frac{1}{a} = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} \frac{1}{a} = \frac{1}{2 + \sqrt{3}}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B1%7D%7Ba%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%20%2B%20%5Csqrt%7B3%7D%7D)
Multiplying and Dividing
with 2 - √3
As (P + Q) × (P - Q) = P² - Q²
⇒ (2 + √3) × (2 - √3) = 2² - (√3)² = 4 - 3 = 1
⇒ 1/a = 2 - √3
⇒ a + 1/a = (2 + √3) + (2 - √3) = 4
As (P + Q)³ = P³ + Q³ + 3PQ(P + Q)
⇒ P³ + Q³ = (P + Q)³ - 3PQ(P + Q)
Substituting P = a and Q = 1/a
⇒ a³ + 1/a³ = (a + 1/a)³ - 3 × a × 1/a × (a + 1/a)
⇒ a³ + 1/a³ = 4³ - 3(4) = 64 - 12 = 52
As (P + Q)² = P² + Q² + 2PQ
Substituting P = a and Q = 1/a
⇒ (a + 1/a)² = a² + 1/a² + 2 × a × 1/a
⇒ a² + 1/a² = (a + 1/a)² - 2
⇒ a² + 1/a² = 4² - 2 = 16 - 2 = 14